<<<  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  >>>

---

Признаци:

I признак:

Доказателство: Нека за ΔABC и ΔA₁B₁C₁ имаме ∠BAC=∠B₁A₁C₁ и ∠ABC=∠A₁B₁C₁. (фиг.1).

Тъй като сборът от ъглите в триъгълник е 180°, то ∠ACB=∠A₁C₁B₁. Следователно, за да установим, че страните им са пропорционални, т.е. AB/A₁B₁=AC/A₁C₁=BC/B₁C₁.

Нанасяме страната A₁B₁ върху лъча AB^→ до точката B₂. Нека правата m, през точка B₂, успоредна на BC, пресича AC в точка C₂. Тъй като BC||B₂C₂, то ∠АB₂C₂=∠ABC=∠A₁B₁C₁. Тогава ΔАB₂C₂≅ΔA₁B₁C₁. От лемата за пропорционалните отсечки в триъгълника получаваме AB/AB₂=AC/AC₂=BC/B₂C₂.

Тъй като AB₂=A₁B₁, AC₂=A₁C₁, то AB/A₁B₁=AC/A₁C₁=BC/B₁C₁. Следователно ΔABC~ΔA₁B₁C₁.

С помощта на доказаната теорема лесно се получават следните важни следствия:

Наистина, ако ΔABC~ΔA₁B₁C₁, a CH и C₁H₁ са съответни височини, то ∠AHC=∠A₁H₁C₁=90° ∠CAH=∠C₁A₁H₁ (фиг.2), откъдето по първи признак за подобност ΔAHC~ΔA₁H₁C₁.

Следователно CH : C₁H₁=AC : A₁C₁. Аналогично за ъглополовящите CL и C₁L₁ имаме ∠ACL=∠A₁C₁L₁ така, че ΔACL~ΔA₁C₁L₁ (фиг.2), откъдето следва CL : C₁=AC : A₁C₁.

Обобщение:
Ako ΔABC~ΔA₁B₁C₁ => a/a₁=b/b₁=c/c₁=h_a/h_a1=l_b/l_b1=m_c/m_c1=P/P₁ =R/R₁=r/r₁=k.

Готови конструкции с приложение на I признак:

1.

Ако в произволен триъгълник ABC ще построим права MN||AB, то получения триъгълник MNC е подобен на триъгълника ABC по I признак.

2.

Ако в произволен трапец ABCD ще построим диагонали AC и BD, където ACxBD=O, то получените триъгълниците AOB и COD са подобни по I признак.

3.

Ако в произволен успоредник ABCD ще построим височини през точка D към страни AB и BC, то получените триъгълници AMD и CND са подобни по I признак.

4.

Ако в правоъгълен триъгълник ABC ще построим височина CH, то ΔABC~ΔACH и ΔABC~ΔBCH => ΔACH~ΔBCH по I признак. => метрични зависимости в правоъгълен триъгълник
a²=a₁c, b²=b₁c, h²_c=a₁b₁.

5.

В окръжност k дадени две пресичащи се хорди AB и CD (ABxCD=M), от свойството на хордите => CM*MD=AM*MB => ΔAMD~ΔCMB по I признак.

6.

В окръжност k през външна точка M построени 2 секателни пресичащи окръжност в точки A,B,C,D. От свойството на секателни BM*AM=CM*MD => ΔBCM~ΔDAM по I признак.

7.

В окръжност k през външна точка M построени секателна MB (MBxk=A) и допирателна MT. От свойството на допирателна и секателна (MT)²=MA*MB => ΔTMA~ΔBMT по I признак.

---

<<<  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  >>>